讀書: 線性代數的世界

「你不能把蘋果跟橘子加在一起」 從某種觀點來說，就是為了想要做這種事，我們才需要向量。

這是本書第一章的第一句話，我一翻開書就噗呲笑了出來，心想我準會愛上這本書。Gilbert Strang 教授用幽默卻精準的語言貫穿全書，娓娓述說線性代數這門學科。

以我個人學習線性代數的經驗，認為學習線性代數必須要從兩方面著手，一是證明，這是前後貫通這們學科的唯一方法，特別是線性代數這座層層相疊，環環相扣的高塔，這讓人學會嚴謹。另一方面則是直覺，你如何從大堆頭的數學式子中看出意義，直搗核心，這讓人思考靈活，學會應用。

我在研究所補習班所學的線性代數的教學太過於偏重證明，我叫它金字塔教學法，從最底層一塊一塊磚慢慢往上蓋、慢慢往上證明。於是乎有這樣的現象：學生知道證明的東西，證明每一步都懂，但是就是無法在腦中成型，或者看不見這些式子的意義，這是因為數學證明的抽象性、嚴謹性犧牲了直覺性(例如線性獨立的證明)，若沒有良好的引導，學生往往在真正看清定理的意義之前就先被繁雜的證明打敗了。「我認為線性代數的教學已經變得太抽象了。」這是Strang教授在序裡說的另一句話，我舉雙手同意。

Strang 教授說自己在寫書的時候努力做到：致力於解釋，而不是演繹。我研讀下來的感覺也是這樣，Strang教授會先像箭一樣射穿核心觀念，然後佐以例子慢慢的向旁邊擴張解釋，最後才用證明結尾。我舉個例子，固有向量(Ax=?x)，章節裡是這樣寫：『我們用A去乘時，幾乎所有的的向量都會改變方向，但是有些特殊的非零向量，它的方向仍然跟Ax相同，只是拉長、縮短、翻轉方向或絲毫未動。... 而固有值就是看進矩陣核心的新途徑。』於是乎學習者從一開始就有一個清楚的圖像浮在腦海中，以此作為往下學習的基礎，比抽象的數學式子好太多啦。我認為這是本書的魅力。

優點同時也是缺點，Strang教授把線性代數處理的滑順可口，無可避免的本書的證明就顯得相對虛弱，偏偏證明是線性代數不可或缺的重要部份。書中大多是以歐式空間為基礎來講解，歐式空間容易學習，容易舉例，但是線性代數可以處理的範圍遠超過歐式空間。這種證明帶來的抽象性，正是線性代數的威力所在，但本書很少提到這部分。

不管如何，這是一本少見的優秀又有趣的數學教科書，我在裡面找到了數學的樂趣，相信你也可以。:D

Strang 教授妙語集錦

談為什麼需要向量

"You can't add apples and oranges."
「你不能把蘋果和橘子加在一起」

線性代數的精神

The central porblem of linear algebra is to solve a system of equations.

線性代數的核心問題就是要解方程組！

談為何AB的反矩陣是 B^-1A^-1

It is also common sense: If you put on socks and then shoes, the first to be taken off are the _____.

常識也告訴我們：假如你先穿襪子再穿鞋，那麼脫的時候，首先該脫掉_____。

談為何(AB)^T = B^TA^T

Ax combines the columns of A while x^TA^T combines the rows of A^T

Ax線性組合了A的諸行，而x^TA^T線性組合了A^T的諸列。

不論是趣味的例子，或者是一句話直搗觀念核心，都常讓我拍案叫絕。比起補習班名師的講義，研讀起來樂趣大多了。