讀書心得 - 線性代數的世界

2010-02-11 |

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「你不能把蘋果跟橘子加在一起」 從某種觀點來說,就是為了想要做這種事,我們才需要向量。

這是本書第一章的第一句話,我一翻開書就噗呲笑了出來,心想我準會愛上這本書。Gilbert Strang 教授用幽默卻精準的語言貫穿全書,娓娓述說線性代數這門學科。

以我個人學習線性代數的經驗,認為學習線性代數必須要從兩方面著手,一是證明,這是前後貫通這們學科的唯一方法,特別是線性代數這座層層相疊,環環相扣的高塔,這讓人學會嚴謹。另一方面則是直覺,你如何從大堆頭的數學式子中看出意義,直搗核心,這讓人思考靈活,學會應用。

我在研究所補習班所學的線性代數的教學太過於偏重證明,我叫它金字塔教學法,從最底層一塊一塊磚慢慢往上蓋、慢慢往上證明。於是乎有這樣的現象:學生知道證明的東西,證明每一步都懂,但是就是無法在腦中成型,或者看不見這些式子的意義,這是因為數學證明的抽象性、嚴謹性犧牲了直覺性(例如線性獨立的證明),若沒有良好的引導,學生往往在真正看清定理的意義之前就先被繁雜的證明打敗了。「我認為線性代數的教學已經變得太抽象了。」這是Strang教授在序裡說的另一句話,我舉雙手同意。

Strang 教授說自己在寫書的時候努力做到:致力於解釋,而不是演繹。我研讀下來的感覺也是這樣,Strang教授會先像箭一樣射穿核心觀念,然後佐以例子慢慢的向旁邊擴張解釋,最後才用證明結尾。我舉個例子,固有向量(Ax=?x),章節裡是這樣寫:『我們用A去乘時,幾乎所有的的向量都會改變方向,但是有些特殊的非零向量,它的方向仍然跟Ax相同,只是拉長、縮短、翻轉方向或絲毫未動。… 而固有值就是看進矩陣核心的新途徑。』於是乎學習者從一開始就有一個清楚的圖像浮在腦海中,以此作為往下學習的基礎,比抽象的數學式子好太多啦。我認為這是本書的魅力。

優點同時也是缺點,Strang教授把線性代數處理的滑順可口,無可避免的本書的證明就顯得相對虛弱,偏偏證明是線性代數不可或缺的重要部份。書中大多是以歐式空間為基礎來講解,歐式空間容易學習,容易舉例,但是線性代數可以處理的範圍遠超過歐式空間。這種證明帶來的抽象性,正是線性代數的威力所在,但本書很少提到這部分。

不管如何,這是一本少見的優秀又有趣的數學教科書,我在裡面找到了數學的樂趣,相信你也可以。:D

Strang 教授妙語集錦

  • “you can’t add apples and oranges.“「你不能把蘋果和橘子加在一起」–談為什麼需要向量
  • The central porblem of linear algebra is to solve a system of equations. 線性代數的核心問題就是要解方程組!
  • It is also common sense: If you put on socks and then shoes, the first to be taken off are the __. 常識也告訴我們:假如你先穿襪子再穿鞋,那麼脫的時候,首先該脫掉__。–談為何AB的反矩陣是 B-1A-1

  • Ax combines the columns of A while xTAT combines the rows of AT Ax線性組合了A的諸行,而xTAT線性組合了AT的諸列。–談為何(AB)T = BTAT

不論是趣味的例子,或者是一句話直搗觀念核心,都常讓我拍案叫絕。比起補習班名師的講義,研讀起來樂趣大多了。

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